第一百七十三章、一将功成万骨枯（大章求全 (第3/5页)

，即na b，其中a和b的素因子个数都不太多。

    譬如说素因子个数不超过10。

    用“a b”来表示如下命题每个大偶数n都可表为a b，其中a和b的素因子个数分别不超过a和b。

    显然。

    哥德巴赫猜想在可以写成“1 1“的情况下。

    在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。

    由此进行了“a b”问题的推进。

    1920年，挪威的布朗证明了“9 9”。

    1924年，德国的拉特马赫证明了“7 7”。

    1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 6”。

    1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 7”，“4 9”，“3 15”和“2 366”。

    1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 5”。

    1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 4”。

    1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1 c”，其中c是一很大的自然数。

    1956年，中国的王元证明了“3 4”。稍后证明了“3 3”和“2 3”。

    1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 5”，中国的王元证明了“1 4”。

    1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 3”。

    1966年，中国的陈景润证明了“1 2”。

    在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。

    x之前所有例外偶数的个数记为e。

    很多人希望无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于e永远等于1。当然，直到2013年还不能证明e1；

    但是。

    能够证明e远比x小。

    在x前面的偶数个数大概是x2；如果当x趋于无穷大时，e与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。

    这就是例外集合的思路。

    ……

    维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的着名定理。

    如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数n可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。

    这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。

    这个小素变数不超过n的θ次方。

    我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取14。

    后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。

    ……

    1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。

    在论文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了……存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。

    这个定理看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是具有非常深刻意义的。

    这个定理让人们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；

    事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过logx的k次方。

    因此，当林尼克定理出现，许多人通过它，了解到一点，虽然还不能证明哥德巴赫猜想，但是大家却能够在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。

    这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度。

    数值较小的k，表示更好的逼近度。

    很显然的一个道理，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。